Logika Matematika

Kata Pengantar

            Adakalah kebahagian yang selayaknya disyukuri bahwa saya telah menyelesaikan Karya Ilmiah “Logika Matematika”.

            Puji syukur saya panjatkan kepada Allah SWT yang berkat rahmat,hidayah dan ridha nya lah saya dapat menyelesaikan tugas ini.Karya Ilmiah ini telah saya maksimalkan untuk menjadi terbaik dari yang terbaik dan dengan metode yang mudah dipahami oleh para pelajar terutama kelas X.

            Tak lupa pula,saya juga berterima kasih sebanyak-banyaknya kepada Guru-guru dan kakak tingkat serta teman-teman yang telah membantu saya dalam menyelesaikan tugas ini.

            Logika Matematika bukanlah hal sepele yang bisa diabaikan begitu saja,untuk menyelesaikan rangkaian soalnya dibutuhkan ketelitian untuk mendapatkan hasil yang benar.

            Selanjutnya,saya juga menyadari bahwa tugas saya ini masih begitu banyak memiliki kekurangan.Oleh karena itu,saya senantiasa menerima kritik dan saran bagi pembaca yang bersifat membangun.Ahkir kata,Semoga Karya Ilmiah ini berguna untuk kita semua.

                                                                                                            Jambi,  Maret 2013

           

                                                                                                                    Penulis

Daftar Isi

Kata Pengantar .......................................................................................................................... i

Daftar Isi   .................................................................................................................................ii

BAB I PENDAHULUAN

            A.Latar Belakang ...........................................................................................................1

            B.Rumusan Masalah ......................................................................................................1

            C.Tujuan Masalah .........................................................................................................1

            D.Metode Penulisan ......................................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN

            A. Pengertian .................................................................................................................3

            B. Proposisi(pernyataan) ...............................................................................................3

            C. Kalimat Terbuka .......................................................................................................3

            D. Ingkaran atau negasi .................................................................................................4

            E. Kalimat Berkuantor ...................................................................................................4

            F. Ingkaran Kalimat Berkuantor ....................................................................................5

            G. Kalimat Majemuk .....................................................................................................5

            H. Konvers,Invers dan Kontraposisi .............................................................................8

            I. Penarikan Kesimpulan ...............................................................................................9

BAB III PENUTUP

            A.Kesimpulan ..............................................................................................................12

            B. Pesan .......................................................................................................................12

Daftar Pustaka .........................................................................................................................13

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

            Logika matematika adalah logika yang dipelajari hanya sebagai bagian dari metode filsafat.Sementara logika simbolik adalah logika yang dipelajari untuk membangun keterampilan penalaran ilmiah.

            Ilmu pengetahuan empirik bertolak dari data empirik.Untuk menganalisis data empirik diperlukan logika induktif,ilmu pengetahuan berusaha menemukan sifat-sifat dan hukum alam empirik yang digunakan untuk memahami keadaan yang nyata.

            Penerapan ini dikerjakan melalui pikiran deduktif.Pada ahkirnya ilmu pengetahuan empirik berusaha merumuskan hasilnya secara kuantitatif dengan logika simbolik.

            Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran,mulai dari yang paling sederhana adalah: (1) pengertian atau konsep;(2)proposisi atau pernyataan ;(3)penalaran.Pada karya ilmiah ini akan mempelajari bagian proposisi/pernyataan.

            Pengertian terbentuk melalui pengamatan indra atau observasi empirik.Bersamaan dengan aktifitas indra itulah terjadi aktifitas pengertian. Misalnya ketika mata melihat ayam,Telinga mendengar kokok ayam,maka terbentuklah suatu pengertian tentang ayam.

B.Rumusan Masalah

Ø  Bagaimana cara memahami ingkaran atau negasi?

Ø  Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor?

Ø  Bagaimana cara merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau berkuantor?

Ø  Bagaimana prinsip logika matematika dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah?

C. Tujuan Masalah

Ø  Untuk memahami ingkaran atau negasi.

Ø  Untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

Ø  Untuk merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau berkuantor.

Ø  Untuk menentukan prinsip logika matematika dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

D. Metode Penulisan

            Penulis membuat karya ilmiah ini dengan cara metode kajian pustaka.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian

            Logika adalah suatu metode yang digunakan untuk menentukan suatu ketepatan pernyataan.Dan pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai suatu nilai benar saja atau salah saja.Contoh : (1) Kucing Mengeong.Ini adalah pernyataan yang benar.(2)Ban motor ada 3.Ini adalah pernyataan yang salah.(3) Mata untuk melihat.Ini adalah pernyataan yang benar.(4) Batu adalah benda hidup.Ini adalah pernyataan yang salah.

B.Proposisi(Pernyataan)

Proposisi ada 2,yaitu :

            a.Pernyataan empirik.

Pernyataan empirik adalah pernyataan yang harus diteliti terlebih dahulu baru bisa ada jawaban benar atau salah.Contoh : segitiga siku-siku memiliki besar sudut yang sama.

            b.Pernyataan Mutlak

Pernyataan mutlak adalah pernyataan yang tanpa diteliti bisa dijawab bens]ar atau salah pernyataan tersebut.contoh : (1) air mendidih pada suhu C ; (2).ayam jantan berkokok ;(3) janda adalah wanita yang pernah kawin.

C. Kalimat terbuka

            Kalimat terbuka yaitu suatu kalimat yang mengandung variabel.Jika nilai variabelnya diketahui maka dia akan menjadi kalimat tertutup(pernyataan).Contoh :

(1).   + 4 = 7 ( Kalimat terbuka)

(2).  = 9 , x =2 (pernyataan)

(3). P + 6 = 7 ( kalimat terbuka )

D.Ingkaran atau negasi (~)

            Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan(antonim).Jika pernyataan disimbolkan dengan p  maka negasi dari pernyataan tersebut adalah ~p.

Contoh :

(1).        p : segitiga siku-siku memiliki sudut  . (benar)

~p : segitiga siku-siku tidak memiliki sudut  . (salah)

(2).       p : Bogor bukan kota hujan (salah)

            ~p : bogor adalah  kota hujan (benar)

(3).       P : 1 + 1 = 2 (benar)

            ~p : 1 + 1 ≠ 2 (salah)

Tabel kebenaran :

P	~p
B	S
S	B

E. Kalimat Berkuantor(p(x))

            Definisi : kalimat tertutup terbagi 2 , yaitu :

(1).Kuantor eksistensial (Ǝx)p(x)

            Definisi : suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya  setiap objek atau masalah memenuhi syarat tertentu dengan kata-kata “ada’,”terdapat”,”beberapa”.

Contoh :

(1). Ada ikan yang bernafas dengan paru-paru.

(2). Beberapa siswa tidak belajar matematika hari ini.

(3). Pada bilangan komposit terdapat bilangan ganjil.

(2).Kuantor Universal (Vx)p(x)

            Definisi : suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiap objek memenuhisyarat tertentu dengan kata-kata “semua”,”seluruh”,”setiap”.

Contoh :

(1).setiap hari senin siswa MAN MODEL mengadakan upacara bendera

(2).semua mahluk hidup pasti akan mati

F.Ingkaran kalimat berkuantor

(1).kuantor eksistensial (Ǝx)p(x)

Contoh :

            Ada siswa dikelas X.8

Negasinya adalah (Ǝx)p(x) >< (Vx)p(x)

            Jadi, seluruh siwa diluar kelas X.8

(2).kuantor universal (Vx)p(x)

Contoh :

            semua manusia bernafas dengan paru-paru

negasinya adalah (Vx)p(x) >< (Ǝx)p(x)

            jadi,ada manusia yang tidak bernafas dengan paru-paru

G. Kalimat Majemuk

            Defenisi : suatu kalimat yang terdiri atas 2 atau lebih kalimat proposional(pernyataan).Kalimat majemuk terdiri atas :

a. konjungsi(^)

            definisi : suatu kalimat yang dihubungkan dengan kata “dan” atau “meskipun”.

            Contoh :

            (1). p : segitiga siku-siku memiliki sudut  . (b)

                  q : jawa timur ibukotanya surabaya. (s)

            p^q : : segitiga siku-siku memiliki sudut  dan jawa timur ibukotanya surabaya (s)

            (2). p : pada bilangan komposit terdapat bilangan ganjil(b)

                  q : 9 merupakan bilangan ganjil (b)

p^q : pada bilangan komposit terdapat bilangan ganjil dan 9 merupakan bilangan ganjil (b)

tabel kebenaran :

P	q	P^q
B	B	B
S	B	S
B	S	S
S	S	S

Keterangan : B = Benar ; S = Salah

b. Disjungsi (v)

            Definisi : kalimat majemuk dengan kata penghubung “atau”.

Contoh :

(1). p : sin =  (b)

     q  :  = 5 (b)

Pvq : sin =  atau  = 5

(2). dan Candi Borobudur dijawa tengah bernilai salah.

Jawab:

2x – 3              =           
2x                    = 25+3

2x                    =28

X                     = 14

Jadi,agar pernyataan tersebut bernilai salah maka x=14

Tabel kebenaran :

P	Q	Pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c. Implikasi (→ )

            Definisi :  dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dlam bentuk kalimat “jika p maka q”.

Contoh :

(1). P : 5 adalah bilangan ganjil (b)

      q :  satu tahun terdapat 12 bulan (b)

  p → q : jika 5 adalah bilangan ganjil,maka satu tahun ada 12  bulan. (b)

tabel kebenaran :

P	Q	P→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

d. biimplikasi (ó)

            biimplikasi bernilai benar jika pernyataannya bernilai sama(keduanya benar,atau keduanya salah)

Contoh :

(1)  p: 9 merupakan bilangan komposit

     q: sin + cos = 1

   póq : 9 merupakan bilangan komposit jika dan hanya jika sin + cos = 1

tabel kebenaran :

P	Q	p→q	Q→p	(p→q)^(q→p)	Póq
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	B	S	S	S
S	S	B	B	B	B

NEGASI KALIMAT MAJEMUK

p	q	~p	~q	P^q	~(p^q)	~p^~q	Pvq	~pvq	~pv~q
B	B	S	S	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	S	B	S	B
S	B	B	S	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	S	B	B	S	B	B

H.Konvers,Invers dan Kontraposisi

            Jika pernyataan p -> q dari suatu implikasi,maka :

            a. q → p disebut konvers

            b.~p→~q disebut invers

            c. ~q → ~p disebut kontraposisi

tabel kebenaran :

p	q	~p	~q	p→q	q→p	~p→~q	~q→~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dengan memperhatikan tabel diatas dapat disimpulkan ekuivalen sebagai berikut.

p→q                ≡          p^~q

p→~q              ≡         p^q

~p→~q            ≡         ~p^q

~p→q              = ~p→~q        ≡          ~(pvq)

contoh :

(1). Jika Amir naik kelas, maka ia diberi hadiah.

Jawab:

Konvers           : “jika amir diberi hadiah, maka ia naik kelas”

Invers              : “jika amir tidak naik kelas,maka ia tidak diberi hadiah”

Kontraposisi    : “jika Amir tidak diberi hadiah, maka ia tidak naik kelas”

I.Penarikan Kesimpulan(Argumen)

            Suatu argumentasi dikatakan valid(sah) jika konjungsi dan implikasi setiap premisnya merupakan suatu tautologi.tautologi yaitu ketika nilai kebenarannya bernilai benar semua).

3 cara aturan dasar penarikan kesimpulan,yaitu :

1. Modus Ponens

Tabel kebenarannya :

P	Q	p→q	(p→q)^p	((p→q)^p) →q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	Inilah yang dinamakan Tautologi   B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Modus Ponens itu,

Premis 1 : p →q

Premis 2 : p

Kesimpulan : q

Contoh :

(1). Premis 1 : jika bilangan genap habis dibagi 2 maka 3 adalah bilangan ganjil (p→q)

      Premis 2 : 10 merupakan bilangan genap (p)

      Kesimpulan =        q : 3 adalah bilangan ganjil

2. Modus Tolens

Tabel kebenaran :

p	q	~p	~q	p→q	(p→q)^~q	((p→q)^~q) →~p
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

Modus tolens itu,bila

Premis 1 : p→q

Premis 2 : ~q

Kesimpulan : ~p

Contoh :

(1). Premis 1 : jika hari hujan maka  Rina tidak sekolah (p→q)

      Premis 2 :  Rina pergi kesekolah (~q)

      Kesimpulan : hari tidak hujan (~p)

3. Silogisme

Tabel kebenaran :

P	Q	r	p→q	q→r	p→r	(p→q)^(q→r)	(p→q)^(q→r) →p→r
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

Silogisme itu,bila

Premis 1 : p → q

Premis 2 : q → r

Kesimpulan : p→r

Contoh :

(1).  Premis 1 : jika 10 habis dibagi 2 maka 3 bukan bilangan genap (p→q)

Premis 2 : jika 3 bukan bilangan genap maka 3 tidak habis dibagi 2 (q→r)

Kesimpulan : jika 10 habis dibagi 2 maka 3 tidak habis dibagi 2 (r)

BAB III

PENUTUP

A.Kesimpulan

Logika matematika itu adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran.Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal.Untuk menyampaikan pemikiran tersebut seseorang menggunakan kalimat.

            Banyak kalimat yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari.Namun didalam matematika hanya mempelajari kalimat yang mempunyai arti saja,yaitu : kalimat pernyataan,kalimat bukan pernyataan,dan kalimat terbuka.

            Dalam matematika kita harus mempelajari apa itu kalimat terbuka,pernyataan atau proposisi , kalimat majemuk seperti, konjungsi, disjungsi,implikasi,biimplikasi.

            Matematika,terutama logika matematika juga mempelajari tautologi,konvers,invers dan kontraposisi.

Dan didalam matematika ada beberapa modus yang digunakan dalam menarik kesimpulan.

Mengerjakan soal tersebut harus dengan teliti dan hati-hati dan harus sesuai dengan tabel kebenaran yang telah ditentukan,karena bila tidak sesuai maka dianggap salah.

B.Pesan

            Saya selaku penulis hanya berharap semoga setelah mempelajari makalah ini ,kita bisa mengerti akan Logika Matematika dan menyukai Matematika untuk seterusnya.

Daftar Pustaka

R. Ratnaestri . 2006. Buku matematika kelas X  standar isi KTSP tahun 2006. Jakarta

B.K Noormandiri. 2004. Buku matematika kelas X. Jakarta : Erlangga